Curs de trigonometrie

Curs de trigonometrie
de Spiru Haret

Descarcă această pagină ca EPUB

CURS

DE

TRIGONOMETRIE

DE

SPIRU C. HARET
FOST PROFESOR LA FACULTATEA DE ȘTIINȚE DIN BUCUREȘTI

EDIȚIA VI
REVĂZUTĂ ȘI PUSĂ ÎN ACORD CU PROGRAMELE ACTUALE DE LICEU

DE

I. TUTUC

PROFESOR DE CURSUL SECUNDAR

BUCUREȘTI

Inst. de Arte Grafice CAROL GÖBL S-r Ion St. Rasidescu
16, Strada Doamnei, 16

1912.

CARTEA I.

STUDIUL FUNCȚIUNILOR CIRCULARE

CAPITOLUL I.

Noțiuni preliminarii și definițiuni.

1. Trigonometria are de obiect a găsì prin calcul elementele necunoscute ale unui poligon, plan sau sferic când se cunoaște un număr suficient din aceste elemente. Această operațiune se numeşte rezolvirea poligonului.

Insă orice poligon poate să se descompună în un număr oarecare de triunghiuri, prin linii duse dintr’un punct oarecare la toate vîrfurile lui; rezolvind aceste triunghiuri, poligonul însuși va fi rezolvit. Prin urmare, obiectul trigonometriei se reduce la rezolvirea triunghiurilor, rectilinii sau sferice. De acì îi vine și numele, precum și diviziunea sa naturală în Trigonometrie plană sau rectilinie şi Trigonometrie sferică.

2. Pentru a rezolvì un triunghiu, este necesar mai întâiu a găsì relațiunile ce există între diferitele sale elemente; astfel că dacă unele din aceste elemente ar fi necunoscute, să le putem aflà prin niște simple rezolviri de ecuațiuni. Insă elementele unui triunghiu sunlaturile și unghiurile lui, cantități neomogene unele cu altele, și de aceea relațiunile ce am puteà găsì între dânsele nu pot fi destul de simple și lesnicioase, pentru a face cu ușurință o rezolvire de triunghiuri. Din această cauză, în trigonometrie, unghiurile se înlocuesc prin niște linii drepte, numite linii trigonometrice și se caută relațiuni, nu între laturile și unghiurile triunghiului, ci între laturi și liniile trigonometrice ale unghiurilor lui.

Când unghiul variează, liniile trigonometrice corespunzătoare variează de asemenea, prin urmare liniile trigonometrice sunt funcțiuni ale unghiului corespunzător. Pe de altă parte, fiindcă aceste linii s’au născut din considerațiunea cercului pe care se măsoară unghiul li s’a dat numirea de funcțiuni circulare directe.

Principiul lui Descartes.

3. Mai înainte de a intrà în studiul liniilor trigonometrice, vom face convențiunea următoare, datorată lui Descartes, care simplifică foarte mult formulele trigonometrice, și înlesnește generalizarea lor.

Fig. 1. Fie XY (fig. 1) o linie indefinită dreaptă sau curbă și O un punct fix pe dânsa numit origină, și dela care se măsoară distanțele. Luăm punctul A pe această linie, și însemnăm distanța OA cu $a$ . Se admite ca această distanță să se considere ca pozitivă, și să se însemneze cu $+$ , dacă se socotește dela origină într’un sens oarecare, s. ex. la dreapta, în sensul săgeții; și ca negativă cu semnul $-$ , dacă se consideră în sensul opus.

Pentruca poziția punctului A pe linia XY să fie determinată, trebue să se cunoască trei date: 1° poziția pe această linie a punctului fix O, 2° mărimea $a$ a distanței punctului A dela această origină și 3° sensul în care această distanță este socotită dela originǎ. Inadevăr, dacă cunoaștem poziția originii, pentru a găsì poziția punctului A, la distanța $+a$ dela origină, n’avem decât pe linia XY, în sensul săgeții, să luăm o distanță OA $=a$ , și A va fi poziția punctului căutat. Dacă ni s’ar cere să găsim poziția unui punct, situat la distanța $-a$ dela origină, am luà distanța OA′ $=a$ , în sens contrar săgeții, și punctul căutat ar fi A′.

De acì urmează principiul: Dacă considerăm pe o linie oarecare, dreaptă sau curbă, diferite distanțe măsurate dela o origină comună, fixă pe această linie și dacă voim a le întroduce în calcul, vom afectà cu semnul $+$ valorile numerice ale distanțelor cari sunt îndreptate într’un sens, și cu $-$ pe acele cari vor fi îndreptate în sensul contrar.

Cu toate acestea nu vom pierde din vedere că acest principiu este numai convențional, și că pentru a admite generalitatea unei formule, tot va trebuì a demonstrà cu rigurositate, că ea există în toate ipotezele posibile.

Arcele de cerc.

4. Se știe că un unghiu se măsoară cu arcul descris între laturile sale, cu centrul în vârful unghiului, și cu o rază arbitrară. Astfel, măsura unghiului ABC va fi arcul AC (fig. 2).
Fig. 2.

In trigonometrie, în general unghiurile se înlocuesc cu arcele de cerc cari le măsoară. Aceste arce se măsoară și ele pe un cerc a cărui rază se ia de ordinar ca unitate (R $=1$ ); prin urmare lungimea unui cerc cu raza R fiind $2\pi$ R, în trigonometrie, ea va fi totdeauna egală cu $2\pi$ ; un semicerc va fi $\pi$ , și un sfert de cerc ${\frac {\pi }{2}}$ .

Fig. 3. Ducând în cerc două diametre perpendiculare AC și BD, (fig. 3) acest cerc va fi împărțit în patru părți egale, numite cadrane, cari poartă fiecare numele de întâiul, al doilea, al treilea, al patrulea cadran.

Fiecare cadran al cercului se împarte în câte 90 părți egale numite grade; fiecare grad se împarte în 60 minute; fiecare minută în 60 secunde. Prin urmare, un cerc întreg are 360 grade, sau 21.600 minute, sau 1.296.000 secunde.

Aceste diferite sub-împărțiri ale cercului, se însemnează respectiv cu °, ′, ″; astfel, un arc de 15 grade 39 minute 51 secunde și 0,4 din o secundă, se însemnează: 15°39′51″,4.

De câtva timp a început să se întrebuințeze o împărțire centesimală a cercului, în locul diviziunii sexagesimale, expusă mai sus. După această nouă diviziune, un cadran se împarte în 100 grade; un grad în 100 minute; o minută în 100 secunde; așa că cercul întreg cuprinde 400 grade, sau 40.000 minute, sau 4.000.000 secunde.

Origina dela care vom socotì arcele pe cerc va fi în general punctul A, la începutul primului cadran. Sensul în care vom considerà arcele ca pozitive va fi cel arătat de săgeată, dela primul către al doilea cadran. Arcele socotite în sensul contrar vor fi privite ca negative. Astfel, arcul AE va fi pozitiv, iar AF negativ.

Arce complimentare și suplimentare.

5. Se numesc arce complimentare, două arce a căror sumă este egală cu un cadran, sau ${\frac {\pi }{2}}$ ; astfel sunt arcele AE și EB, căci ${\mbox{AE}}+{\mbox{EB}}={\frac {\pi }{2}}$ .

Se numesc arce suplimentare două arce a căror sumă este egală cu două cadrane, sau $\pi$ ; astfel sunt arcele AE și EC, căci ${\mbox{AE}}+{\mbox{EC}}=\pi$ .

Prinurmare, dacă lungimea unui arc $a$ , arcul complimentar va fi ${\frac {\pi }{2}}-a$ și arcul suplimentar $\pi -a$ .

LINIILE TRIGONOMETRICE

6. Liniile trigonometrice sunt în număr de șase: sinus, tangenta, secanta, cosinus, cotangenta și cosecanta.

Liniile trigonometrice nu se consideră niciodată în valoare absolută, ci sunt date totdeauna prin raportul lor către rază: așà când se zice că tangenta unui arc este 3,7, aceasta însemnează că raportul între lungimea absolută a acelei tangente și rază este 3,7.

Sinus.

Fig. 4. 7. Se numește sinus al unui arc, perpendiculara lăsată din o extremitate a arcului pe diametrul care trece prin cealaltă extremitate. Astfel sinusul arcului AE (fig. 4) este EI, și se însemnează: ${\mbox{EI}}=\sin {\mbox{AE}}$ .

Ducând EK paralel cu AC avem: ${\mbox{EI}}={\mbox{KO}}$ , ca paralele cuprinse între paralele; prinurmare putem zice că și KO este sinusul arcului AE.

Sinusurile se socotesc pe diametrul BD, dela origina O (3). In tot cursul acestei scrieri vom considerà ca pozitive sinusurile socotite pe raza OB, și ca negative pe cele considerate pe OD. Astfel se vede pe figură că

\sin {\mbox{AE}}={\mbox{EI}}={\mbox{OK}}

,

\sin {\mbox{ABG}}={\mbox{GM}}={\mbox{OP}}

și însemnând cu $a$ și $b$ lungimile segmentelor OK și OP vom aveà:

\sin {\mbox{AE}}=+a

,

\sin {\mbox{ABG}}=-b

8. Când arcul merge crescând dela A până la B, adică dela zero pânăla ${\frac {\pi }{2}}$ , valoarea sinusului rămâne totdeauna pozitivă, și merge și ea crescând dela zero în sus. Când arcul este AB sau ${\frac {\pi }{2}}$ , valoarea sinusului este BO, adică raza însăș; deci

\sin {\frac {\pi }{2}}={\mbox{BO}}=+1

.

Extremitatea arcului trecând în al doilea cadran și mergând dela B pânăla C, valoarea sinusului este tot pozitivă, însă merge descrescând dela 1 în jos.

Arcul ABC are drept sinus pe zero, așà că

\sin \pi =0

.

Când extremitatea arcului intră în cadranul al treilea, sinusul devine negativ, după convențiunea de mai sus; însă valoarea arcului crescând dela ABC pânăla ABCD, adică dela $\pi$ până la ${\frac {3\pi }{2}}$ , valoarea absolută a sinusului crește și ea dela zero până la 1, așà că

\sin {\frac {3\pi }{2}}={\mbox{OD}}=-1

.

Extremitatea arcului fiind în cadranul al patrulea, sinusul rămâne tot negativ, însă descrește în valoare absolută dela 1 pânăla 0, adică:

\sin 2\pi =0

.

Prinurmare, în rezumat:

În primul cadran, sinusul este pozitiv, și variează dela zero pânǎla +1.

În al doilea cadran, sinusul este pozitiv, și variează dela +1 pânǎla zero.

În al treilea cadran, sinusul este negativ, și variează dela zero pânǎla −1.

În al patrulea cadran, sinusul este negativ, și variează dela −1 pânăla zero.

De acì vedem că toate valorile sinusului sunt cuprinse între limitele −1 și + 1. Orice valoare a sinusului mai mare decât +1 sau mai mică decât −1 este o valoare absurdă. La o asemenea valoare de sinus nu corespunde nici un arc real.

9. Dacă ne‑am imaginà că arcul, după ce a percurs un cerc întreg, ar trece de punctul A, și ar percurge din nou cercul în acelaș sens de mai multe ori, am vedeà că sinusul în aceleași cadrane reià neîncetat aceleași valori cu aceleași semne, în mod periodic: după fiecare trecere de un cerc întreg, valorile și semnele sinusului se repetă. Prinurmare, sinusul este o funcțiune circulară periodică, și perioada sa este un cerc sau 2π.

Putem exprimà acest principiu prin formula următoare:

\sin(2k\pi +x)=\sin x

,

în care k însemnează un număr întreg oarecare, pozitiv sau negativ.

Tangenta.

10. Se numește tangenta unui arc, porțiunea tangentei geometrice dusă la una din extremitățile arcului cuprinsă între această extremitate și diametrul ce trece prin cealaltă extremitate.

Astfel, tangenta arcului AE (fig. 5) este AF, și se însemnează:
Fig. 5.

{\mbox{AF}}={\mbox{tg AE}}

.

Tangentele trigonometrice se socotesc pe tangenta geometrică FK, și punctul A este considerat ca origina lor (3). Se consideră ca pozitive tangentele socotite dela origina A pe partea AF a tangentei geometrice, și ca negative cele considerate pe partea AK. Astfel se vede pe figură că:

{\mbox{tg AE}}={\mbox{AF}}

, și

{\mbox{tg AI}}={\mbox{AK}}

,

și însemnând cu a și b lungimile segmentelor AF și AK vom aveà:

{\mbox{tg AE}}=+a

,

{\mbox{tg AI}}=-b

11. Când arcul merge crescând dela A până la B, adică dela zero pânǎla ${\frac {\pi }{2}}$ , valoarea tangentei rămâne totdeauna pozitivă, și merge și ea crescând dela zero în sus. Când arcul este AB sau ${\frac {\pi }{2}}$ , diametrul ce trece prin extremitatea B a arcului, fiind paralel cu tangenta AF, o întâlnește la infinit; prinurmare:

{\mbox{tg}}{\frac {\pi }{2}}=\infty

Când extremitatea arcului este în cadranul al doilea, de ex. arcul AG, diametrul ce trece prin extremitatea G a lui întâlnește linia tangentelor în partea sa inferioară AK; prinurmare în acest cadran, tangenta este negativă. Arcul crescând dela B spre C, tangenta descrește în valoare absolută; și când arcul devine ABC, sau π, ea devine zero; deci

{\mbox{tg}}\pi =0

.

Arcul ABH având extremitatea în cadranul al treilea, tangenta AF se află pe partea pozitivă a linii tangentelor, și crește când crește și arcul, și când acesta are valoarea

{\frac {3\pi }{2}}

, tangenta este iarăș infinită; adică

{\mbox{tg }}{\frac {3\pi }{2}}=\infty

Îndată ce extremitatea arcului intră în cadranul al patrulea, tangenta trece deodată dela valorile pozitive la cele negative; și când crește arcul, tangenta descrește în valoare absolută, așà că, arcul ajungând la valoarea 2π, avem:

{\mbox{tg }}2\pi =0

.

În rezumat:

În cadranul întâiu, tangenta este pozitivă, și variează dela zero pânăla + ∞.

În cadranul al doilea, tangenta este negativă, și variează dela − ∞ pânǎla zero.

În cadranul al treilea, tangenta este pozitivă și variează dela zero pânăla + ∞.

În cadranul al patrulea, tangenta este negativă, și variează dela − ∞ pânăla zero.

Vedem dar că tangenta poate să ieà toate valorile posibile dela − ∞ pânǎla + ∞, și prinurmare la orice valoare reală a tangentei corespunde o valoare reală pentru arc.

12. Dacă am presupune că arcul, după ce a percurs cercul întreg ar trece de punctul A și ar percurge din nou cercul în acelaș sens și de mai multe ori, am vedeà că tangenta, din două în două cadrane, reieà neîncetat aceleaşi valori cu aceleași semne, în mod periodic. Prinurmare, tangenta este o funcțiune circulară periodică, și perioada sa este un semi-cerc sau π.

Putem exprimà acest principiu prin formula următoare:

{\mbox{tg }}(k\pi +x)={\mbox{tg }}x

,

în care k reprezintă un număr întreg oarecare, pozitiv sau negativ.

Secanta.

13. Se numește secantă a unui arc distanța dela centrul acelui arc pânăla extremitatea tangentei sale trigonometrice. Astfel tangenta arcului AE este AF, (fig. 5), iar secanta lui este OF, și se notează:

{\mbox{OF}}=\sec {\mbox{AE}}

.

Origina secantelor este centrul O.

Fig. 6. Secanta se măsoară deci pe dreapta, care trece prin centrul cercului și extremitatea arcului. Sensul pozitiv pe această dreaptă este dela O spre extremitatea arcului, sensul negativ este cel contrar. Astfel (fig. 6), raportându‑ne la arcul AM sensul pozitiv pe dreapta X′X este dela O spre X și cel negativ dela O spre X′; raportându‑ne la arcul ABM′ sensul pozitiv este dela O spre X′ și cel negativ dela O spre X.

14. Când arcul este zero, (fig. 5) secanta este OA sau +1; adică:

\sec 0=+1

.

Arcul crescând în cadranul întâiu pânăla B, secanta crește și ea, rămânând neîncetat pozitivă; și când arcul devine ${\frac {\pi }{2}}$ sau AB, extremitatea tangentei fiind la infinit, dupăcum știm (11) avem:

\sec {\frac {\pi }{2}}=+\infty

.